Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB 邊上有一動點(diǎn)P（不與A、B重合），連接DP，作PQ⊥DP，PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x。
（1）如果△APD是等腰三角形，求x的值；
（2）若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C？若存在，求出相應(yīng)的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出BC的長在什么范圍內(nèi)時，存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C。

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6，
∴AH=2，
∵AP=x，
依題意得2＜x＜8，
∴PH=x-2，
①當(dāng)AP=AD時，，
②當(dāng)AD= PD時，有AH=PH，
∴2=x-2，
解得x=4，
③當(dāng)AP=PD時，
在Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，
解得x=5，
∵2＜x＜8，
∴△APD是等腰三角形時，，4或5；
（2）∵點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，
∴點(diǎn)E必在線段BC上，易證△DPH∽△PEB，
∴
∴
整理得y=（x-2）（8-x），
即y=-x²+x-4；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，則BE=BC=4，
即y=-x²+x-4=4，
整理，得x²-10x+32=0，
∵△=（-10）² -4×32＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)解，與假設(shè)矛盾，
∴不存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C，
 當(dāng)BC滿足O＜BC≤時，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C。