Question

（2013年浙江義烏8分）已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C，D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F．

（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長(zhǎng)；
（2）證明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA=，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連接OD，
∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD。
∴在Rt△OBD中，。
∴CD=2BD=8。
（2）證明：∵PE是⊙O的切線，∴∠PEO=90°。
∴∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A。
∵OE=OA，∴∠A=∠AEO。∴∠PEF=∠PFE。∴PE=PF。
（3）過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，
∴∠PGF=∠ABF=90°。
∵∠PFG=∠AFB，∴∠FPG=∠A。
∴FG=PF•sinA=13×=5。
∵PE=PF，∴EF=2FG=10。

（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，可求得OB的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得BD的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，求得CD的長(zhǎng)。
（2）由PE是⊙O的切線，易證得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，可得PE=PF。
（3）首先過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=13×=5，又由等腰三角形的性質(zhì)，求得答案。