Question

已知點(diǎn)D是等邊△ABC的邊BC上一點(diǎn)，以AD為邊向右作等邊△ADF，DF、AC交于點(diǎn)N．
（1）如圖①，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，請(qǐng)說明DF⊥AC的理由；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動(dòng)時(shí)，以AD為邊再向左作等邊△ADE，DE、AB交于M，試問線段AM和AN有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明你的理由；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，直接寫出DM+DN的最小值．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD=×60°=30°，
又∵△ADF是等邊三角形，
∴∠DAF=30°，
∴∠DAN=∠FAN=30°，
∴AN⊥DF，
即DF⊥AC；

（2）AM=AN．
理由如下：如圖，連接AD，
∵△ADE、△ADF是等邊三角形，
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AF，
∵∠DAM+∠CAD=60°，
∠FAN+∠CAD=60°，
∴∠DAM=∠FAN，
在△ADM和△AFN中，，
∴△ADM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；

（3）根據(jù)垂線段最短，DM⊥AB、DN⊥AC時(shí)，DM、DN最短，
設(shè)等邊△ABC的高線為h，
則S_△ABC=AC•h=AB•DM+AC•DN，
∵AB=AC，
∴DM+DN=h，
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，
∴h=2×=，
∴DM+DN的最小值為．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CAD=30°，再求出∠FAN=30°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；
（2）連接AD，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠ADE=∠ADF，等邊三角形的三條邊都相等可得AD=AF，再求出∠DAM=∠FAN，然后利用“角邊角”證明△ADM和△AFN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到AM=AN；
（3）根據(jù)垂線段最短可得DM⊥AB、DN⊥AC時(shí)，DM、DN最短，再利用△ABC的面積求出此時(shí)DM+DN等于等邊△ABC的高，然后求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，（3）判斷出DM、DN最短時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵．