Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；
（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q．
①當點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當CE=1時，寫出AP的長．（不必寫解答過程）

Answer 1

（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴

AP

CD

=

AB

PD

，即：

AP

2

=

2

5-AP

解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴

AP

DQ

=

AB

PD

，即：

x

2+y

=

2

5-x

，
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2（1＜x＜4）．
②當CE=1時，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴

CE

PD

=

CQ

DQ

，

1

5-x

=

y

y+2

或

1

5+x

=

y

y-2

，
∵y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
解得：AP=2或3-

5

（舍去）．