Question

【題目】已知頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)，分別是軸、軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，在圖1中作直線(xiàn)，保留作圖痕跡.并直接寫(xiě)出直線(xiàn)的解析式；

②點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為斜邊按圖2所示構(gòu)造等腰.在①的條件下，記與的公共部分的面積為.求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①作圖見(jiàn)解析；；②S；的最大值為.

【解析】

(1)設(shè)出頂點(diǎn)式，直接將B點(diǎn)代入即可完成解答;

(2)①過(guò)y，x軸分別做A，B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，然后連、，當(dāng)這四點(diǎn)在同一直線(xiàn)時(shí)，周長(zhǎng)最小，即可畫(huà)出圖形；再確定、,由待定系數(shù)法即可得到直線(xiàn)、的解析式，即為直線(xiàn)CD的解析式;

②由①得到直線(xiàn)CD的解析式，即可求出CD與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到△PQR與直線(xiàn)y=x有公共點(diǎn)時(shí)x的取值范圍，以及公共部分的面積s與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)確定其最大值即可。

（1）根據(jù)題意，設(shè)物線(xiàn)的頂點(diǎn)式為，

將代入得，，

∴拋物線(xiàn)解析式為：.

（2）①作圖如下：

直線(xiàn)的解析式為.

②如下圖：

點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，

解得，

當(dāng)時(shí)，

.

∴當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

，

即時(shí)，，

綜上：的最大值為.