Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（8，0）兩點，與y軸交于點C，且OC＝2OA，拋物線的對稱軸x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第一象限內(nèi)拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點，設(shè)點P點的橫坐標為m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；

（3）K是拋物線上一個動點，在平面直角坐標系中是否存在點H，使B、C、K、H為頂點的四邊形成為矩形？若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）m1＝4或m2＝；（3）點H坐標為（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．

【解析】

（1）結(jié)合A（﹣2，0），B（8，0）由兩點式可得拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣8），求出點C坐標，代入即可求出拋物線解析式；

（2）點P在拋物線上，可設(shè)P（m，﹣m2+m+4），結(jié)合C點坐標可得直線PC的解析式，已知直線與對稱軸交點E的坐標，DE長可知，根據(jù)S△ABC＝×AB×OC求出其面積，由題中條件可知△CDP的面積，由三角形面積公式可得m的值；

（3）分類討論，①若BC為邊，∠CBK＝90°時，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC'，根據(jù)AAS證明△BCO≌△BC'E，依據(jù)全等的性質(zhì)可得點B點C的坐標，求出直線BC的表達式與拋物線的解析式聯(lián)立求解可得點K橫坐標，由矩形的性質(zhì)可知xC﹣xB＝xH﹣xK，，結(jié)合點B、C、D點坐標可得H點坐標.②若BC為邊，∠BCK＝90°時，同理可求：直線CK的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解可得點K橫坐標，同理可得H點坐標；③若BC為對角線，由B點C點坐標可得BC的中點坐標及BC的長，點K在拋物線上，設(shè)設(shè)點K（x，﹣x2+x+4），利用勾股定理可求出x的值，選擇符合題意的，求出點K坐標后結(jié)合KH的中點坐標可知H點坐標，綜上所述，點H的坐標有3種情況.

（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）

∴OA＝2，OB＝8，

∵OC＝2OA，

∴OC＝4，

∴點C（0，4）

∵設(shè)y＝a（x+2）（x﹣8）經(jīng)過點C，

∴4＝﹣16a，

∴a＝﹣，

∴拋物線解析式為：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；

（2）如圖1，

由題意：點D（3，0），

∴OD＝3，

設(shè)P（m，﹣m2+m+4），（m＞0，﹣m2+m+4＞0）

∵C（0，4），

∴直線PC的解析式可表示為：y＝（﹣m+）x+4，

設(shè)直線PC與對稱軸的交點為E，則點E（3，﹣m+），

∴DE＝﹣m+，

∵S△ABC＝×AB×OC，

∴S△ABC＝×10×4＝20，

∵S△CDP＝S△ABC，

∴×（﹣m+）×m＝×20，

∴m1＝4或m2＝；

（3）若BC為邊，∠CBK＝90°時，如圖2，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC'，

∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，

∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，

∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，

∴△BCO≌△BC'E（AAS）

∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，

∴點C'（4，﹣8），且B（8，0）

∴直線BC'解析式為：y＝2x﹣16，

∴2x﹣16＝﹣x2+x+4，

∴x1＝﹣10，x2＝8，

∴點K（﹣10，﹣36），

∵xC﹣xB＝xH﹣xK，

∴0﹣8＝xH﹣（﹣10），

∴xH＝﹣18，

∵，

∴yH＝﹣32，

∴點H（﹣18，﹣32），

若BC為邊，∠BCK＝90°時，

同理可求：直線CK的解析式為：y＝2x+4，

∴2x+4＝﹣x2+x+4，

∴x1＝﹣2，x2＝0，

∴點K坐標（﹣2，0）

∵，

∴0﹣8＝﹣2﹣xH，

∴xH＝﹣6，

∵，

∴yH＝﹣4，

∴點H（6，﹣4），

若BC為對角線，

∵B、C、K、H為頂點的四邊形成為矩形，

∴BC＝KH，BC與KH互相平分，

∵B（8，0），C（0，4）

∴BC中點坐標（4，2），BC＝＝＝4，

設(shè)點K（x，﹣x2+x+4）

∴（x﹣4）2+（﹣x2+x+4﹣2）2＝（2）2，

∴x（x﹣2）2（x﹣8）＝0，

∴x1＝0，x2＝2，x3＝8，

∴K（2，6），且KH的中點坐標（4，2），

∴點H（6，﹣2）

綜上所述：點H坐標為（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．