Question

【題目】對于給定函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（其中a1、b1、c1為常數(shù)，且a1≠0），則稱函數(shù)y＝（a1＝a2，b1+b2＝0，c1+c2＝0）為函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（其中a1，b1，c1為常數(shù)，且a1≠0）的“相關(guān)函數(shù)”，此“相關(guān)函數(shù)”的圖象記為G．

（1）已知函數(shù)y＝﹣x2+4x+2．

①直接寫出這個(gè)函數(shù)的“相關(guān)函數(shù)”；

②若點(diǎn)P（a，1）在“相關(guān)函數(shù)”的圖象上，求a的值；

③若直線y＝m與圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的相關(guān)函數(shù)的圖象G在﹣4≤x≤2上的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0，當(dāng)≤y0≤9時(shí)，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①y＝；②a的值為﹣3或﹣1或2+；③m≤﹣2或2＜m＜6；（2）1≤n≤2或n≥

【解析】

（1）①直接利用“相關(guān)函數(shù)”得出結(jié)論；

②分a≥0和a＜0，代入相關(guān)函數(shù)關(guān)系式中，即可得出結(jié)論；

③畫出函數(shù)圖象，直接寫出結(jié)論；

（2）先得出y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的“相關(guān)函數(shù)”，再分情況，借助圖象即可得出結(jié)論．

解：（1）①由“相關(guān)函數(shù)”得出y＝；

②∵點(diǎn)P（a，1）在“相關(guān)函數(shù)”的圖象上，

當(dāng)a≥0時(shí)，﹣a2+4a+2＝1，

解得，a＝2+或a＝2﹣（舍），

當(dāng)a＜0時(shí)，﹣a2﹣4a﹣2＝1，

解得，a＝﹣1或a＝﹣3，

即：a的值為﹣3或﹣1或2+；

③如圖1，

由①知，y＝，

當(dāng)直線y＝m與圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，

由圖象知，m≤﹣2或2＜m＜6；

（2）由題意知，函數(shù)y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的“相關(guān)函數(shù)”為y＝，

而n2+1＞n2﹣1，

①當(dāng)n2﹣1＞1時(shí)，如圖2，

∴n＜﹣2（舍）或n＞2，

Ⅰ、當(dāng)n≥4時(shí)，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4+2n+1＝2n﹣3，

當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，

i）當(dāng)2n﹣3＞4n﹣9，

∴n＜3，此種情況不存在；

ii）當(dāng)2n﹣3≤4n﹣9，

∴n＞3，

即：n≥4，

Ⅱ、當(dāng)2＜n＜4時(shí)，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4+2n+1＝2n﹣3

i）當(dāng)2n﹣3＞n2﹣1，

∴（n﹣2）2＜0，不符合題意，

ii）當(dāng)2n﹣3≤n2﹣1，

∴（n﹣2）2≥0，

此時(shí)，y0＝n2﹣1，

∵≤y0≤9，

∴≤n2﹣1≤9，

∴≤n≤2，

即：≤n＜4，

②當(dāng)0＜n≤2時(shí)，

如圖3，而n2+1＞n2﹣1，

∴≤n2+1≤9，

∴1≤n≤4，

∴1≤n≤2，

即：1≤n≤2或n≥．