Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，且點A的坐標為（﹣3，0），點C坐標為（0， ），點B在y軸的負半軸上，拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點A和點C

（1）求b，c的值；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△ACQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由
（3）點P是線段AO上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交AB于點E，探究：當點P在什么位置時，四邊形MEBC是平行四邊形，此時，請判斷四邊形AECM的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A的坐標為（﹣3，0），點C坐標為（0， ），點B在y軸的負半軸上，拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點A和點C，

∴ ，

解得： ；

（2）

解：在拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△ACQ為等腰三角形，

當AQ=QC，如圖1，

由（1）得：y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （x+1）2+ ，

即拋物線對稱軸為：直線x=﹣1，則QO=1，AQ=2，

∵CO= ，QO=1，

∴QC=2，

∴AQ=QC，

∴Q（﹣1，0）；

當AC=Q1C時，過點C作CF⊥直線x=﹣1，于一點F，

則FC=1，

∵AO=3，CO= ，

∴AC=2 ，

∴Q1C=2 ，

∴FQ1= ，故Q1的坐標為：（﹣1， + ）；

當AC=CQ2=2 時，由Q1的坐標可得；Q2（﹣1，﹣ + ）；

當AQ3=AC=2 時，則QQ3 =2 ，故Q3（﹣1，﹣2 ），根據(jù)對稱性可知Q4（﹣1，2 ）（Q4和Q3關(guān)于x軸對稱）也符合題意，

綜上所述：符合題意的Q點的坐標為：（﹣1，0）；（﹣1， + ）；（﹣1，﹣ + ）；（﹣1，﹣2 ），（﹣1，2 ）

（3）

解：如圖2所示，

當四邊形MEBC是平行四邊形，則ME=BC，

∵AB=AC，且點A的坐標為（﹣3，0），點C坐標為（0， ），

∴B（0，﹣ ），

則BC=2 ，

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+e，

故 ，

解得： ，

故直線AB的解析式為：y=﹣ x﹣ ，

設(shè)E（x，﹣ x﹣ ），M（x，﹣ x2﹣ x+ ），

故ME=﹣ x2﹣ x+ + x+ =﹣ x2﹣ x+2 =2 ，

解得：x1=0（不合題意舍去），x2=﹣1，

故P點在（﹣1，0），此時四邊形MEBC是平行四邊形；

四邊形AECM是梯形，

理由：∵四邊形MEBC是平行四邊形，

∴MC∥AB，

∵CO= ，AO=3，

∴∠CAO=30°，

∵AC=AB，AO⊥BC，

∴∠BAO=30°，

∴∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵AC=BC，ME=BC，所以AC=ME，

∴四邊形AECM是等腰梯形．

【解析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式得出即可；（2）利用當AQ=QC，以及當AC=Q1C時，當AC=CQ2=2 時，當AQ3=AC=2 時，分別得出符合題意的答案即可；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)首先得出BC的長，進而表示出線段ME的長，進而求出答案，再利用梯形的判定得出答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．