【題目】如圖,BD是△ABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,連接ED,DG.
(1)請判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由;
(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=4,點(diǎn)H是BD上的一個動點(diǎn),求HG+HC的最小值.
【答案】(1)四邊形EBGD是菱形.理由見解析;(2)4
【解析】試題分析:(1)結(jié)論四邊形EBGD是菱形.只要證明BE=ED=DG=GB即可.
(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,連接EC交BD于點(diǎn)H,此時HG+HC最小,在Rt△EMC中,求出EM、MC即可解決問題.
試題解析:
(1)四邊形EBGD是菱形.理由:
∵EG垂直平分BD,
∴EB=ED,GB=GD,BF=DF.
∴∠EBD=∠EDB.
又∵∠EBD=∠DBC,
∴∠EDF=∠GBF.
在△EFD和△GFB中,
∴△EFD≌△GFB(ASA).
∴ED=BG.
∴BE=ED=DG=GB.
∴四邊形EBGD是菱形.
(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,連接EC交BD于點(diǎn)H,此時HG+HC最。
在Rt△EBM中,
∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=4,
∴EM=BE=2
.
∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,
∴EM∥DN,EM=DN=2,MN=DE=4
.
在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,
∴∠NDC=∠NCD=45°.
∴DN=NC=2.
∴MC=4+2
=6
.
在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,由勾股定理,得EC= .
∵HG+HC=EH+HC=EC,
∴HG+HC的最小值為4 .
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