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        1. 【題目】如圖,BDABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,連接ED,DG.

          1請判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由;

          2若∠ABC30°,C45°,ED4,點(diǎn)HBD上的一個動點(diǎn),求HGHC的最小值.

          【答案】(1)四邊形EBGD是菱形.理由見解析;(2)4

          【解析】試題分析:(1)結(jié)論四邊形EBGD是菱形.只要證明BE=ED=DG=GB即可.
          (2)作EM⊥BCM,DN⊥BCN,連接ECBD于點(diǎn)H,此時HG+HC最小,在Rt△EMC中,求出EM、MC即可解決問題.

          試題解析:

          (1)四邊形EBGD是菱形.理由:

          ∵EG垂直平分BD,

          ∴EB=ED,GB=GD,BF=DF.

          ∴∠EBD=∠EDB.

          又∵∠EBD=∠DBC,

          ∴∠EDF=∠GBF.

          在△EFD和△GFB中,

          ∴△EFD≌△GFB(ASA).

          ∴ED=BG.

          ∴BE=ED=DG=GB.

          ∴四邊形EBGD是菱形.

          (2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,連接EC交BD于點(diǎn)H,此時HG+HC最。

          在Rt△EBM中,

          ∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=4

          ∴EM=BE=2.

          ∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,

          ∴EM∥DN,EM=DN=2,MN=DE=4.

          在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,

          ∴∠NDC=∠NCD=45°.

          ∴DN=NC=2.

          ∴MC=4+2=6.

          在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,由勾股定理,得EC= .

          ∵HG+HC=EH+HC=EC,

          ∴HG+HC的最小值為4 .

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