Question

【題目】（8分）已知AB是⊙O的直徑，C是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，P是優(yōu)弧中點(diǎn)．

（1）求證：OP∥BC．

（2）連接PC交直徑AB于點(diǎn)D，當(dāng)OC=DC時(shí)，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接AC，延長PO交AC于H，根據(jù)垂徑定理OH ,∠ACB=90°，所以OP∥BC得證.

(2) 設(shè)∠OPC=x,利用圓中兩條半徑特有的等腰三角形，同弧所對圓周角是圓心角的一半，用x表示△COD內(nèi)角和，求出x.

（1）證明：連接AC，延長PO交AC于H，如圖1，

∵P是優(yōu)弧的中點(diǎn)， ∴PH⊥AC，

∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°，

∴BC⊥AC， ∴OP∥BC；

（2）連接AC，延長PO交AC于H，如圖2，

∵P是優(yōu)弧的中點(diǎn)， ∴PA=PC， ∴∠PAC=∠PCA，

∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠PAO=PCO，

當(dāng)CO=CD時(shí)，設(shè)∠DCO=x，

則∠OPC=x，∠PAO=x， ∴∠PDO=2x，

∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，

∵CD=CO， ∴∠DOC=∠ODC=3x．

在△POC中，x+x+5x=180°，

解得x=，即∠PAO=，∴∠A的度數(shù)為．