Question

如圖，己知拋物線(xiàn)y=x²+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，∠ACB=90°，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且

1

OA

-

1

OB

=

2

OC

．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式，
（2）求△ABC的外接圓面積；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)y=x²+px+q的頂點(diǎn)為D，求四邊形ACDB的面積；
（4）在拋物線(xiàn)y=x²+px+q上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為2

2

？如果有，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？寫(xiě)出它們的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁、B點(diǎn)橫坐標(biāo)x₂；
由射影定理得-x₁•x₂=q²①，
由韋達(dá)定理得
x₁•x₂=q，x₁+x₂=-p，
又因?yàn)?span mathtag="math" >

1

OA

-

1

OB

=

2

OC

，
所以

x1+x2

x1x2

=

2

q

②，
將x₁•x₂=q代入-x₁•x₂=q²①
得，-q=q²，解得q=-1或q=0（不合題意，舍去）．
將x₁•x₂=q，x₁+x₂=-p代入

x1+x2

x1x2

=

2

q

②
得，

-p

q

=

2

q

，p=-2，于是拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=x²-2x-1．

（2）令y=0，所以x²-2x-1=0，
解得x₁=1-

2

，x₂=1+

2

；
所以AB=x₂-x₁=（1+

2

-1+

2

）=2

2

．
∴△ABC的外接圓的半徑=

2

∴△ABC的外接圓的面積=π（

2

）²=2π．

（3）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)y=x²-2x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），作DE⊥AB于E，
所以四邊形ACDB的面積=S_△ACO+S_△DEB+S_梯形COED=

(2+1)×1

2

+

2 ×2

2

+

1×( 2 -1)

2

=

3 2

2

+1．

（4）AB=2

2

，
要使△PAB的面積為2

2

，只需P點(diǎn)到x軸即AB所在直線(xiàn)的距離為2．
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或-2，代入y=x²-2x-1得：
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），（-1，2），（1，-2）．