Question

如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°.
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）..

試題分析：（1）要證CD是⊙O的切線，只要證CD垂直于過切點的半徑即可.
（2）要求圖中陰影部分的面積，只要求出△OCD的面積和扇形OCB的面積即可.
試題解析：（1）如圖，連接OC.
∵ AC＝CD，∠ACD＝120⁰，∴∠A＝∠D＝30⁰.
∵ OA＝OC,∴∠2＝∠A＝30⁰. ∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90⁰.
∴ CD是⊙O的切線.
（2）∵∠A＝30^o， ∴∠1＝2∠A＝60⁰. ∴.
在Rt△OCD中, CD ＝OCtan60⁰＝，
∴.
∴ 圖中陰影部分的面積為.