Question

在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．
活動(dòng)一：如圖1，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點(diǎn)，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，求陰影部分的面積．

小明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△DBF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DGE（如圖2所示），一眼就看出這題的答案，請(qǐng)你寫出陰影部分的面積：______．
活動(dòng)二：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)．

小明仍運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG（如圖4所示），則①四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：______．AE的長(zhǎng)是______．
活動(dòng)三：如圖5，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面積．

Answer 1

活動(dòng)一：
∵四邊形DECF是正方形，
∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，

DF

AC

=

BD

AB

，
∵AD=2，BD=1，
∴AC=3x，BC=

3

2

x，
∵AC²+BC²=AB²，
∴9x²+（

3

2

x）²=9，
解得：x=

2 5

5

，
∴DE=DF=

2 5

5

，AE=

4

5

5

，BF=

5

5

，
∴S_△ADE+S_△BDF=1，
∴S_陰影=1；
故答案為：1；

活動(dòng)二：根據(jù)題意得：∠EAG=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
∴四邊形AECG是矩形，
∵AE=AG，
∴四邊形AECG是正方形，
∵BC=5，CD=3，
∴設(shè)AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
∴x-3=5-x，
解得：x=4，
∴AE=4．
故答案為：正方形，4；

活動(dòng)三：過點(diǎn)B作BG⊥DC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，
∴四邊形ABGD是矩形，
∴DG=AB=2，
∴CG=DC-DG=4-2=2．
∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
∴∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
∴△BCG≌△BEF，
∴CG=EF=2．
∴S_△ABE=

1

2

AB•EF=2．（10分）