Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H．
（1）求證：AH•AB=AC²；
（2）若過A的直線與弦CD（不含端點）相交于點E，與⊙O相交于點F，求證：AE•AF=AC²；
（3）若過A的直線與直線CD相交于點P，與⊙O相交于點Q，判斷AP•AQ=AC²是否成立．（不必證明）

Answer 1

證明：（1）連接CB，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC，
∴，
即AH•AB=AC²；

（2）連接FB，易證△AHE∽△AFB，
∴AE•AF=AH•AB，
∴AE•AF=AC²；
（也可連接CF，證△AEC∽△ACF）

（3）結論AP•AQ=AC²成立（同理）．
分析：（1）連接CB，證明△CAH∽△BAC即可；
（2）連接CF，證△AEC∽△ACF，根據射影定理即可證得；
（3）由（1）（2）的結論可知，AP•AQ=AC²成立．
點評：本題考查了相似三角形的性質，其中由相似三角形的性質得出比例式是解題關鍵．