Question

【題目】動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：利用矩形紙片(如圖1)剪出一個(gè)正六邊形紙片；再利用這個(gè)正六邊形紙片做一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱(棱柱底面為正六邊形) ，如圖2．

(1) 做一個(gè)這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長(zhǎng)與寬的比為多少？

(2) 在(1)的條件下，當(dāng)矩形的長(zhǎng)為2a時(shí)，要使無(wú)蓋正六棱柱側(cè)面積最大，正六棱柱的高為多少？并求此時(shí)矩形紙片的利用率為多少？

Answer 1

【答案】(1)、2：；(2)、

【解析】

試題分析：(1)、首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后分別求出矩形的長(zhǎng)和寬與正六邊形半徑長(zhǎng)的關(guān)系，得出比值；(2)、分別求出正六棱柱和矩形紙片的面積，然后得出比值.

試題解析：(1)如圖所示：

由于正六邊形內(nèi)角和為(6﹣2)×180°＝720°，則其一角的角平分線(xiàn)所分的兩個(gè)角同為60°；

設(shè)所需矩形的長(zhǎng)寬分別為A、B，剪出的正六邊形半徑長(zhǎng)為L(zhǎng)，那么

A=2L，B=2Lsin60°＝L；

因此，所求長(zhǎng)寬比為A：B＝(2L)：(L)＝2：．

做一個(gè)這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長(zhǎng)與寬的比為：2：；

(2)∵矩形的長(zhǎng)為2a， ∴正六邊形邊長(zhǎng)為a，其面積為：設(shè)高為x，S=

當(dāng)x=時(shí)，S=， 此時(shí)，底面積，

∴六棱柱的面積為+=

∵矩形的面積=，

∴利用率==