Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值；

（3）設(shè)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，為對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)上關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)距離為2，可以直接寫(xiě)出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可求出b、c的值；

（2）因?yàn)?/span>AC為定值，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”可確定P點(diǎn)的位置，然后用勾股定理即可求得周長(zhǎng)的最小值；

（3）根據(jù)“菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分以及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性”可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).

（1）拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)、，且，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，得，

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，

∴，，

∴點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，

把、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，

得到，

解得，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：．

（2）如圖中，連結(jié)，與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)則為點(diǎn)，連接、．

由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，得，

∴，

∴，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，得周長(zhǎng)的最小，

∵為

∴，

在中，有，

在中，有，

∴的周長(zhǎng)的最小值為：．

（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，時(shí)，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時(shí)點(diǎn)

故答案為:．