Question

如圖，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圓O的半徑為1，
（1）找出當(dāng)AP+BP能得到最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置，并證明
（2）求出AP+BP最小值．

Answer 1

分析：（1）本題是要在MN上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，設(shè)A′是A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接A′B，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；
（2）可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果．

解答：（1）證明：過A作AA′⊥MN于E，連接BA′．

∵M(jìn)N過圓心O，
∴AE=EA′，
∴AP=PA′，即AP+BP=PA′+BP，
根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，當(dāng)A′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA′+BP=BA'，
AP+BP此時(shí)為最小值，
∴P位于A′B與MN的交點(diǎn)處；
（2）解：∵點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，
∴∠AON=∠A'ON=60°，
∵點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，
∴

AB

=

BN

，
∴∠BON=30°，
∴∠BOA'=∠A'ON+∠BON=90°，
∵OB=OA=1，
∴BA′=

2

，即AP+BP最小值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱-最短路徑問題，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)P的位置這類題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要．