Question

【題目】已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以AB為直徑的半圓O在矩形ABCD的外部（如圖），將半圓O繞點A順時針旋轉α度（0°≤α≤180°）

（1）半圓的直徑落在對角線AC上時，如圖所示，半圓與AB的交點為M，求AM的長；

（2）半圓與直線CD相切時，切點為N，與線段AD的交點為P，如圖所示，求劣弧AP的長；

（3）在旋轉過程中，半圓弧與直線CD只有一個交點時，設此交點與點C的距離為d，直接寫出d的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AM=；（2）=π；（3）4-≤d＜4或d=4+．

【解析】

（1）連接B′M，則∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根據(jù)相似三角形的性質可求出AM的長度；

（2）連接OP、ON，過點O作OG⊥AD于點G，則四邊形DGON為矩形，進而可得出DG、AG的長度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°，進而可得出△AOP為等邊三角形，再利用弧長公式即可求出劣弧AP的長；

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可求出OG、DN的長度，進而可得出CN的長度，畫出點B′在直線CD上的圖形，在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），利用勾股定理可求出B′D的長度進而可得出CB′的長度，再結合圖形即可得出：半圓弧與直線CD只有一個交點時d的取值范圍．

（1）在圖2中，連接B′M，則∠B′MA=90°．

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

∴AC=5．

∵∠B=∠B′MA=90°，∠BCA=∠MAB′，

∴△ABC∽△AMB′，

∴=，即=，

∴AM=；

（2）在圖3中，連接OP、ON，過點O作OG⊥AD于點G，

∵半圓與直線CD相切，

∴ON⊥DN，

∴四邊形DGON為矩形，

∴DG=ON=2，

∴AG=AD-DG=1．

在Rt△AGO中，∠AGO=90°，AO=2，AG=1，

∴∠AOG=30°，∠OAG=60°．

又∵OA=OP，

∴△AOP為等邊三角形，

∴==π．

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，

∴DN=GO=OA=，

∴CN=CD+DN=4+．

當點B′在直線CD上時，如圖4所示，

在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），AB′=4，AD=3，

∴B′D==，

∴CB′=4-．

∵AB′為直徑，

∴∠ADB′=90°，

∴當點B′在點D右邊時，半圓交直線CD于點D、B′．

∴當半圓弧與直線CD只有一個交點時，4-≤d＜4或d=4+．