Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的面積是16．
（1）求正方形OABC的對(duì)角線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直線y=2x+8交x軸于E，交y軸于F，它沿x軸正方向以每秒移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，問是否存在t的
值，使直線EF平分正方形OABC的面積？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖，點(diǎn)P為正方形OABC的對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)A、C除外），PM⊥PO，交直線AB于M，給出下列兩個(gè)結(jié)論：①

PC

BM

的值不變；②

PC

AM

的值不變；其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你選出正確的結(jié)論，予以證明并求其值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)求法求解．
（2）E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），當(dāng)直線EF平移到過D點(diǎn)時(shí)正好平分正方形AOBC的面積，設(shè)平移后的直線為y=2x+b，代入D點(diǎn)坐標(biāo)，求得b=-2．可知平移的距離為5，所以t=5秒；
（3）過P點(diǎn)作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，易證△OPH≌△MPQ，四邊形CNPG為正方形．
可知PG=BQ=CN，即可求得

PC

BM

=

2

2

．

解答：解：（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求法可得D（2，2）．（4分）

（2）當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0）．
當(dāng)直線EF平移到過D點(diǎn)時(shí)正好平分正方形AOBC的面積．
設(shè)平移后的直線為y=2x+b，代入D點(diǎn)坐標(biāo)，求得b=-2．
此時(shí)直線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），平移的距離為5，所以t=5秒．  （8分）

（3）

PC

BM

的值不變．
過P點(diǎn)作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H．
易證△OPH≌△MPQ，四邊形CNPG為正方形．
∴PG=BQ=CN．
∴CP=

2

PG=

2

2

BM，即

PC

BM

=

2

2

．  （12分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．