Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn)；

（2）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AP＝2；（3）DE的長(zhǎng)不變，定值為3．

【解析】

（1）過P作PF∥QC交AB于F，則是等邊三角形，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；

（2）想辦法證明BD＝DF＝AF即可解決問題；

（3）想辦法證明即可解決問題．

（1）證明：過P作PF∥QC交AB于F，則是等邊三角形，

∵P、Q同時(shí)出發(fā)，速度相同，即BQ＝AP，

∴BQ＝PF，

在和中，

，

∴，

∴DQ＝DP；

（2）解：∵，

∴BD＝DF，

∵，

∴，

∴，

∴AP＝2；

（3）解：由（2）知BD＝DF，

∵是等邊三角形，PE⊥AB，

∴AE＝EF，

∴DE＝DF+EF

＝3，為定值，即DE的長(zhǎng)不變．