Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求線段DE長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）最大值是．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得DM，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得DE的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解：（1）由題意得，，

解得，，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+3；

（2）過點(diǎn)D作DM⊥x軸交BC于M點(diǎn)，

由勾股定理得，BC＝＝5，

設(shè)直線BC的解析是為y＝kx+b，

則，

解得，

∴直線BC的解析是為y＝﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣a+3），

DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，

∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，

∴△DEM∽△BOC，

∴，即＝，

解得，DE＝DM

∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，

當(dāng)a＝2時(shí)，DE取最大值，最大值是．