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        1. 如圖所示,已知邊長為3的等邊△ABC,點F在邊BC上,CF=1,點E是射線BA上一動點,以線段EF為邊向右側作精英家教網(wǎng)等邊△EFG,直線EG,F(xiàn)G交直線AC于點M,N,
          (1)寫出圖中與△BEF相似的三角形;
          (2)證明其中一對三角形相似;
          (3)設BE=x,MN=y,求y與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
          (4)若AE=1,試求△GMN的面積.
          分析:(1)根據(jù)△ABC與△EFG都是正三角形,所以它們的內(nèi)角都是60°,相等,再結合平角等于180°,可以找出另外的相關的兩個角的和等于120°,然后即可確定出圖中所有相似的三角形;
          (2)只要證明另外和等于120°的兩個角對應相等,即可利用兩角對應相等,兩三角形相似;
          (3)因為點E的位置以及BE的長度都不確定,所以分(i)點E在線段AB上且點MN都在線段AC上;(ii)點E在線段AB上,點G在△ABC內(nèi);(iii)當點E在線段BA的延長線上,三種情況進行討論;
          (4)AE=1,而點E的位置不確定,所以要分兩種情況進行討論求解,(i)在線段AB上,則△GMN是邊長為1的正三角形;(ii)在射線BA上,則△GMN是有一個角是30°的直角,分別求出兩直角邊,面積可求.
          解答:解:(1)△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN;(3分)

          證明:(2)在△BEF與△AME中,
          ∵∠B=∠A=60°,
          ∴∠AEM+∠AME=120°,(1分)
          ∵∠GEF=60°,
          ∴∠AEM+∠BEF=120°,
          ∴∠BEF=∠AME,(1分)
          ∴△BEF∽△AME;(1分)
          精英家教網(wǎng)

          解:(3)(i)當點E在線段AB上,點M、N在線段AC上時,如圖,
          ∵△BEF∽△AME,
          ∴BE:AM=BF:AE,
          即:x:AM=2:(3-x),
          ∴AM=
          -x2+3x
          2
          ,
          同理可證△BEF∽△CFN;
          ∴BE:CF=BF:CN,
          即:x:1=2:CN,
          ∴CN=
          2
          x
          ,
          ∵AC=AM+MN+CN,
          ∴3=
          -x2+3x
          2
          +y+
          2
          x
          ,
          ∴y=
          x3-3x2+6x-4
          2x
          (1≤x≤3);
          (ii)當點E在線段AB上,點G在△ABC內(nèi)時,如備用圖一,
          同上可得:AM=
          -x2+3x
          2
          ,CN=
          2
          x

          ∵AC=AM+CN-MN,
          ∴3=
          -x2+3x
          2
          +
          2
          x
          -y,
          ∴y=-
          x3-3x2+6x-4
          2x
          (0<x≤1);
          (iii)當點E在線段BA的延長線上時,如備用圖二,
          AM=
          x2-3x
          2
          ,CN=
          2
          x

          ∵AC=MN+CN-AM,
          ∴3=y+
          2
          x
          -
          x2-3x
          2
          ,
          ∴y=
          x3-3x2+6x-4
          2x
          (x>3);
          綜上所述:y=-
          x3-3x2+6x-4
          2x
          (0<x≤1),
          或∴y=
          x3-3x2+6x-4
          2x
          (x≥1);

          (4)(i)當AE=1時,△GMN是邊長為1等邊三角形,
          ∴S△GMN=
          1
          2
          ×1×
          3
          2
          =
          3
          4
          ;(1分)
          (ii)當AE=1時,△GMN是有一個角為30°的Rt△,
          ∵x=4,
          ∴y=
          43-3 ×42+6×4-4
          2×4
          =
          9
          2
          ,NG=FG-FN=4×
          3
          2
          -1×
          3
          2
          =
          3
          3
          2
          ,
          ∴S△GMN=
          1
          2
          ×
          3
          3
          2
          ×
          9
          2
          =
          27
          3
          8
          點評:本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),本題難點在于點E的位置不確定,要分情況進行討論,綜合性較強,難度較大.
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          3
          2
          (反射角等于入射角),則P1C的取值范圍是
          1<P1C<
          7
          6
          1<P1C<
          7
          6

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          3
          +1
          2
          a
          3
          +1
          2
          a

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