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        1. 【題目】如圖1,已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AC、BD,則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”.

          (1)求證:∠A+∠C=∠B+D;

          (2)如圖2,若∠CAB和∠BDC的平分線APDP相交于點(diǎn)P,且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N.

          以線段AC為邊的“8字型”有   個(gè),以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有   個(gè)

          若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度數(shù);

          若角平分線中角的關(guān)系改為“∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB”,試探究∠P∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明理由.

          【答案】(1)證明見解析;(2)3, 4;∠P=110°;3∠P=∠B+2∠C,理由見解析.

          【解析】

          (1)由三角形內(nèi)角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,由對(duì)頂角相等,得到∠AOC=∠BOD,因而∠A+∠C=∠B+∠D;

          (2)①以線段AC為邊的“8字形”有3個(gè),以O為交點(diǎn)的“8字形”有4個(gè);

          根據(jù)(1)的結(jié)論,M為交點(diǎn)“8字型中,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,N為交點(diǎn)“8字型中,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,兩等式相加得到2∠P+BAP+CDP=B+C+CAP+BDP,APDP是角平分線,得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,從而P=(B+C),然后將∠B=100,∠C=120代入計(jì)算即可;

          ③與②的證明方法一樣得到3∠P=∠B+2∠C.

          (1)在圖1中,有∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,

          ∵∠AOC=∠BOD,

          ∴∠A+∠C=∠B+∠D;

          (2)解:以線段AC為邊的“8字型”有3個(gè):

          以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有4個(gè):

          M為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,

          N為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP

          ∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,

          ∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC,

          ∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,

          ∴2∠P=∠B+∠C,

          ∵∠B=100°,∠C=120°,

          ∴∠P=(∠B+∠C)=(100°+120°)=110°;

          ③3∠P=∠B+2∠C,其理由是:

          ∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,

          ∴∠BAP=∠CAB,∠BDP=∠CDB,

          M為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,

          N為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP

          ∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=(∠CDB﹣∠CAB),

          ∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=(∠CDB﹣∠CAB).

          ∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,

          ∴3∠P=∠B+2∠C.

          故答案為:(1)證明見解析;(2)3, 4;∠P=110°;3∠P=∠B+2∠C,理由見解析.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          【題目】“綠色出行,低碳健身”已成為廣大市民的共識(shí).為方便市民出行,東臺(tái)市推出了公共自行車系統(tǒng),收費(fèi)以小時(shí)為單位,每次使用不超過1小時(shí)的免費(fèi),超過1小時(shí)后,不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)收費(fèi).小紅同學(xué)通過調(diào)查得知,自行車使用時(shí)間為3小時(shí),收費(fèi)2元;使用時(shí)間為4小時(shí),收費(fèi)3元.她發(fā)現(xiàn)當(dāng)使用時(shí)間超過1小時(shí)后用車費(fèi)用與使用時(shí)間之間存在一次函數(shù)的關(guān)系.

          (1)設(shè)使用自行車的費(fèi)用為元,使用時(shí)間為小時(shí)(為大于1的整數(shù)),求的函數(shù)解析式;

          (2)若小紅此次使用公共自行車5小時(shí),則她應(yīng)付多少元費(fèi)用?

          (3)若小紅此次使用公共自行車付費(fèi)6元,求她所使用自行車的時(shí)間.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】下列幾何體是由4個(gè)相同的小正方體搭成的,其中主視圖和左視圖相同的是(
          A.
          B.
          C.
          D.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,△ABC中,AB=ACAD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求證:

          1△AEF≌△CEB;

          2AF=2CD

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          【題目】如圖,五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等,且AB=BC,AC=AD,求∠CAD的度數(shù).

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          【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示,現(xiàn)將△ABC平移,使點(diǎn)A變換為點(diǎn)A′,點(diǎn)B′、C′分別是BC的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

          1)請(qǐng)畫出平移后的△A′B′C′,并求△A′B′C′的面積;

          2)若連接AA′,CC′,則這兩條線段之間的關(guān)系是

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在某次海上軍事學(xué)習(xí)期間,我軍為確保△OBC海域內(nèi)的安全,特派遣三艘軍艦分別在O、B、C處監(jiān)控△OBC海域,在雷達(dá)顯示圖上,軍艦B在軍艦O的正東方向80海里處,軍艦C在軍艦B的正北方向60海里處,三艘軍艦上裝載有相同的探測(cè)雷達(dá),雷達(dá)的有效探測(cè)范圍是半徑為r的圓形區(qū)域.(只考慮在海平面上的探測(cè))
          (1)若三艘軍艦要對(duì)△OBC海域進(jìn)行無盲點(diǎn)監(jiān)控,則雷達(dá)的有效探測(cè)半徑r至少為多少海里?
          (2)現(xiàn)有一艘敵艦A從東部接近△OBC海域,在某一時(shí)刻軍艦B測(cè)得A位于北偏東60°方向上,同時(shí)軍艦C測(cè)得A位于南偏東30°方向上,求此時(shí)敵艦A離△OBC海域的最短距離為多少海里?
          (3)若敵艦A沿最短距離的路線以20 海里/小時(shí)的速度靠近△OBC海域,我軍軍艦B沿北偏東15°的方向行進(jìn)攔截,問B軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦A?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,AB、C在同一直線上,

          (1)若∠A=∠3,依據(jù)__________,可得_____________;

          (2)若∠______=∠______,則依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可得DBEC;

          (3)若∠______+∠_______180°,則ADBE,依據(jù)是____________;

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知A(1,6)B(n,﹣2)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y= 的圖象的兩個(gè)交點(diǎn),直線與y軸交于C點(diǎn).
          (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
          (2)求△BOC的面積;
          (3)直接寫出不等式kx+b﹣ >0的解集.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案