Question

【題目】如圖，線段AC∥x軸，點B在第四象限，AO平分∠BAC，AB交x軸于G，連OB，OC．

（1）判斷△AOG的形狀，并證明；
（2）如圖1，若BO=CO且OG平分∠BOC，求證：OA⊥OB；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點M為AO上的一點，且∠ACM=45°，若點B（1，﹣2），求M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO=∠BAO，

∵線段AC∥x軸，

∴∠CAO=∠AOG，

∴∠BAO=∠AOG，

∴GO=GA，

∴△AOG是等腰三角形

（2）

解：如圖1，

連接BC，

∵BO=CO且OG平分∠BOC，

∴BF=CF，

∵線段AC∥x軸，

∴AG=BG，

由（1）得OG=AG，

∴OG= AB，

∴△AOB是直角三角形，

∴OA⊥OB，

（3）

解：如圖2，連接BC，

由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，

∵點B（1，﹣2），

∴BF=2，OF=1，

在Rt△BFG中，BF=2，BG=FG+1，

根據(jù)勾股定理得，（FG+1）2=FG2+4，

∴FG= ，

∵AC∥OG，AG=BG，

∴AC=2FG=3，

由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，

∵點B（1，﹣2），

∴C（1，2），A（4，2），

∴直線OA解析式為y= x①，

延長CM交x軸于E，

∵∠ACM=45°，

∴∠CEO=45°，

∴FE=FC=2，

∴E（3，0），

∵C（1，2），

∴直線AE解析式為y=﹣x+3②，

聯(lián)立①②解得x=2，y=1，

∴M（2，1）．

【解析】（1）由角平分線得出∠CAO=∠BAO，由平行線得出∠CAO=∠AOG，即∠BAO=∠AOG，即可；（2）先判斷出點F是BC中點，再用中位線得出AG=BG，從而判斷出△AOB是直角三角形，即可；（3）先求出OG，從而求出AC，得出點A，C坐標，最后求出直線OA，CM的解析式，即可求出它們的交點坐標．
【考點精析】利用角平分線的性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．