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        1. 【題目】如圖,拋物線的頂點(diǎn)為C1,﹣2),直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點(diǎn),其中A點(diǎn)在x軸的正半軸上,且OA=3,B點(diǎn)在y軸上,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)AB不重合),過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點(diǎn)E

          1)求直線AB的解析式.

          2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求點(diǎn)E的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示).

          3)求ABE面積的最大值.

          【答案】1)直線AB解析式為y=x;

          2E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, x2x);

          3ABE面積的最大值為

          【解析】試題分析:(1)由條件可先求得拋物線解析式,則可求得B點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式;

          (2)由條件可知P、E的橫坐標(biāo)相同,又點(diǎn)E在拋物線上,則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo);

          (3)由(2)可用x表示出PE的長,則可用x表示出ABE的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

          試題解析:(1)∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣2),

          可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,

          OA=3,且點(diǎn)A在x軸的正半軸上,

          A(3,0),

          0=a3122,解得a=

          拋物線解析式為y=x12﹣2=x2x,當(dāng)x=0時(shí)可得y=

          B0,),

          設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,把A、B坐標(biāo)代入可得,解得

          y=x;

          (2)∵點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn),且PEx軸

          點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x,

          點(diǎn)E在拋物線上,

          E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, x2x);

          (3)∵點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)

          Px, x),則Ex, x2x),

          PE=x﹣(x2x)=﹣x2+x,

          由(2)可知點(diǎn)B到PE的距離x,點(diǎn)A以PE的距離為3﹣x,

          SABE=PEx+PE3x=PEx+3x=PE=(﹣x2+x=x2+x=x2+

          ∵﹣<0,

          當(dāng)x=時(shí),SABE有最大值,最大值為,

          ∴△ABE面積的最大值為

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          (2)如圖1,若BO=CO且OG平分∠BOC,求證:OA⊥OB;
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