Question

 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為,與軸交于、兩點(diǎn)(在點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn):對(duì)稱(chēng).

(1)求、兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)在直線(xiàn)上;

(2)求二次函數(shù)解析式;

(3)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)∥交直線(xiàn)于點(diǎn),、分別為直線(xiàn)和直線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接、、,求和的最小值.

 

Answer 1

解:(1)依題意,得

解得,

∵點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)

∴點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為

∵直線(xiàn):

當(dāng)時(shí),

∴點(diǎn)在直線(xiàn)上

(2)∵點(diǎn)、關(guān)于過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn):對(duì)稱(chēng)

            ∴

            過(guò)頂點(diǎn)作交于點(diǎn)

則,

            ∴頂點(diǎn) 

            代入二次函數(shù)解析式,解得

            ∴二次函數(shù)解析式為

(3)直線(xiàn)的解析式為

      直線(xiàn)的解析式為

            由 解得 即,則

            ∵點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

            ∴的最小值是,

            過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,交直線(xiàn)于

則,,

            ∴的最小值是,即的長(zhǎng)是的最小值

            ∵∥

            ∴

            由勾股定理得

            ∴的最小值為