Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊于點(diǎn)D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊于點(diǎn)E。

（1）以點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求BE的長(zhǎng)

（2）當(dāng)PD=PE時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，四邊形CDPE的面積為y，求出y與x的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可求出AC和BC的長(zhǎng)，從而知AD的長(zhǎng)度，在中可求出AP的長(zhǎng)，則，又因可知，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得BE的長(zhǎng)；

（2）設(shè)，由題（1）可知，在和中可以求出AP和BP的長(zhǎng)，再根據(jù)求解即可得；

（3）由可得DP、BP的長(zhǎng)，從而得BE和EP的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式可列出等式：，化簡(jiǎn)即可得，最后根據(jù)和聯(lián)立求x的取值范圍.

（1）由題意可得，在中，

點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)

在中可得，

又

在中，；

（2）設(shè)

由題（1）可知，在中，

在中，

又，即

解得

；

（3）設(shè)，則

在中，

在中，

即

化簡(jiǎn)得

由題意得，即

又，即

聯(lián)立解得

故出y與x的函數(shù)解析式為，自變量的取值范圍為.