Question

（2013•尤溪縣質(zhì)檢）已知，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c，當(dāng)1＜x＜5時(shí)，y值為正；當(dāng)x＜1或x＞5時(shí)，y值為負(fù)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）若直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A（

3

2

，m）和B（4，n），求直線(xiàn)的解析式．
（3）設(shè)平行于y軸的直線(xiàn)x=t和x=t+2分別交線(xiàn)段AB于E、F，交二次函數(shù)于H、G．
①求t的取值范圍
②是否存在適當(dāng)?shù)膖值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將（1，0）和（5，0）代入函數(shù)關(guān)系式，求出b，c的值即可；
（2）圖象過(guò)A（

3

2

，m）和B（4，n）兩點(diǎn)代入（1）中所求求出A，B的坐標(biāo)即可，進(jìn)而求出直線(xiàn)的解析式；
（3）①根據(jù)t＞

3

2

，t+2＜4進(jìn)而求出t的取值范圍即可；
②首先表示出E，F(xiàn)，G，H各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出t的值即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸交點(diǎn)為（1，0）和（5，0），
∴

-1+b+c=0 -25+5b+c=0

，
解得

b=6 c=-5

．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+6x-5；

（2）∵y=-x²+6x-5的圖象過(guò)A（

3

2

，m）和B（4，n）兩點(diǎn)，
∴m=

7

4

，n=3，∴A（

3

2

，

7

4

）和B（4，3），
∵直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）過(guò)A（

3

2

，

7

4

）和B（4，3）兩點(diǎn)
∴

3 2 k+b= 7 4 4k+b=3

，
解得

k= 1 2 b=1

．
∴直線(xiàn)的解析式為y=

1

2

x+1；

（3）①根據(jù)題意

t＞ 3 2 t+2＜4

，
解得

3

2

＜t＜2，
②根據(jù)題意E（t，

1

2

t+1），F(xiàn)（t+2，

1

2

t+2）
H（t，-t²+6t-5），G（t+2，-t²+2t+3），
∴EH=-t²+

11

2

t-6，F(xiàn)G=-t²+

3

2

t+1，
若EFGH是平行四邊形，則EH=FG，即-t²+

11

2

t-6=-t²+

3

2

t+1，
解得：t=

7

4

，
∵t=

7

4

滿(mǎn)足

3

2

＜t＜2．
∴存在適當(dāng)?shù)膖值，且t=

7

4

使得EFGH是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出E，F(xiàn)，G，H點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而利用平行四邊形對(duì)邊相等得出是解題關(guān)鍵．