Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)軸于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn).

①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

② 是否存在點(diǎn)使為等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）①P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，﹣7）；②（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．

【解析】

試題分析：（1）由直線(xiàn)解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式；

（2）①可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E、D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和ED的長(zhǎng)，由條件可知到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

②由E、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可表示出BE、CE和BC的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵點(diǎn)B（4，m）在直線(xiàn)y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得，解得，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）①設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），

則PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

當(dāng)﹣x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=﹣1或x=2，但當(dāng)x=﹣1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（2，9）；

當(dāng)﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）時(shí)，解得x=﹣1或x=6，但當(dāng)x=﹣1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，﹣7）；

②設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE=|x﹣4|，CE=，BC=，

當(dāng)△BEC為等腰三角形時(shí)，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，

當(dāng)BE=CE時(shí)，則|x﹣4|=，解得x=，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

當(dāng)BE=BC時(shí)，則|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；

當(dāng)CE=BC時(shí)，則=，解得x=0或x=4，當(dāng)x=4時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．