Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+ 的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為第一象限的拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別做BC和x軸的垂線，交BC于點(diǎn)E和F，交x軸于點(diǎn)M和N．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）求線段PE最大值，并求出線段PE最大時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若S△PMN＝3S△PEF時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為，點(diǎn).（3）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由OB，OC的長可得出∠ABC=30°，結(jié)合PN⊥x軸，PE⊥BC可得出PE=PF，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，-），進(jìn)而可得出PE=-x2+x，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；

（3）由∠PEF=∠PNM，∠P=∠P可得出△PEF∽△PNM，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S△PMN=3S△PEF可得出PN=PE，再結(jié)合（2）可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出x的值，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+，得：

，解得：，

∴二次函數(shù)的解析式為．

（2）∵當(dāng)時，，

∴，

∴，

∴

∵軸，

∴，

又∵，

∴，

∴，

設(shè)，直線的解析式為，

，

∴，

∴

∴

又，

∴當(dāng)x=時，PE取得最大值，的最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

（3）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

由（2）得

解得，（舍去），

∴