Question

如圖，拋物線：y＝ax²＋bx＋4與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)和B(4，0)、與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)T是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)M、Q分別從點(diǎn)A、B以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸同時(shí)出發(fā)相向而行．當(dāng)點(diǎn)M原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線的對稱軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M的直線l⊥軸，交AC或BC于點(diǎn)P．求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：；
（2），S的最大值為．

解析試題分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）設(shè)直線x=1上一點(diǎn)T（1，h），連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，根據(jù)TA=TC由勾股定理求出即可；
（3）（I）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（II）當(dāng)2＜t≤3時(shí)，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點(diǎn)F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可．
試題解析：（1）把A、B(4，0)代入，得
 
解得    
∴拋物線的解析式為：；
（2）由，得拋物線的對稱軸為直線，
直線交x軸于點(diǎn)D，設(shè)直線上一點(diǎn)T(1，h)，連結(jié)TC，TA，作CE⊥直線，垂足為E，由C(0，4)得點(diǎn)E(1，4)，
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得
        
解得，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1,1)；
（3）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，△AMP∽△AOC
∴

∴
當(dāng)時(shí)，S的最大值為8.
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
作PF⊥y軸于F，有△COB∽△CFP，又CO=OB
∴FP=FC=，
∴
∴當(dāng)時(shí)，則S的最大值為，
綜合Ⅰ、Ⅱ，S的最大值為．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．