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        1. (2010•連云港模擬)已知:如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,點E為邊BC上一點,且AE=DC.
          (1)求證:四邊形AECD是平行四邊形;
          (2)當(dāng)∠B=2∠DCA時,求證:四邊形AECD是菱形.

          【答案】分析:(1)由等腰梯形的性質(zhì)(等腰梯形同一底上的角相等),可得∠B=∠DCB,又由等腰三角形的性質(zhì)(等邊對等角)證得∠DCB=∠AEB,即可得AE∥DC,則四邊形AECD為平行四邊形;
          (2)根據(jù)平行線的性質(zhì),易得∠EAC=∠DCA,又由已知,由等量代換即可證得∠EAC=∠ECA,根據(jù)等角對等邊,即可得AE=CE,則四邊形AECD為菱形.
          解答:證明:(1)∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
          ∴∠B=∠DCB,(1分)
          ∵AE=DC,
          ∴AE=AB,(1分)
          ∴∠B=∠AEB,(1分)
          ∴∠DCB=∠AEB,(1分)
          ∴AE∥DC,(1分)
          ∴四邊形AECD為平行四邊形;(1分)

          (2)∵AE∥DC,
          ∴∠EAC=∠DCA,(1分)
          ∵∠B=2∠DCA,∠B=∠DCB,
          ∴∠DCB=2∠DCA,(1分)
          ∴∠ECA=∠DCA,(1分)
          ∴∠EAC=∠ECA,(1分)
          ∴AE=CE,(1分)
          ∵四邊形AECD為平行四邊形,
          ∴四邊形AECD為菱形.(1分)
          點評:此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是仔細識圖,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答.
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