Question

【題目】已知函數(shù)y=|x2﹣x﹣2|，直線y=kx+4恰好與y=|x2﹣x﹣2|的圖象只有三個(gè)交點(diǎn)，則k的值為_____．

Answer 1

【答案】1﹣2或﹣2

【解析】

直線y=kx+4與拋物線y=-x2+x+2（-1≤x≤2）相切時(shí)，直線y=kx+4與y=|x2-x-2|的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，即-x2+x+2=kx+4有相等的實(shí)數(shù)解，利用根的判別式的意義可求出此時(shí)k的值，另外當(dāng)y=kx+4過（2，0）時(shí)，也滿足條件．

解：當(dāng)y=0時(shí)，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，
則拋物線y=x2-x-2與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），（2，0），
把拋物線y=x2-x-2圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，
則翻折部分的拋物線解析式為y=-x2+x+2（-1≤x≤2），
當(dāng)直線y=kx+4與拋物線y=-x2+x+2（-1≤x≤2）相切時(shí)，
直線y=kx+4與函數(shù)y=|x2-x-2|的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，
即-x2+x+2=kx+4有相等的實(shí)數(shù)解，整理得x2+（k-1）x+2=0，△=（k-1）2-8=0，
解得k=1±2 ，
所以k的值為1+2或1-2．
當(dāng)k=1+2時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-＜-1不符合題意，舍去．
當(dāng)y=kx+4過（2，0）時(shí)，k=-2，也滿足條件，

故答案為1-2或-2．