Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE，我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形，請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；
（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4-圖6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k>0），第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由；
（3）在第（2）題圖5中，連結(jié)DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE²+DG²的值。

圖1                           圖2                            圖3

圖4                       圖5                       圖6

Answer 1

解：（1）①BG=DE，BG⊥DE；
②BG=DE，BG⊥DE仍然成立，
在圖（2）中證明如下
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BGC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；
（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立，
簡要說明如下：
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形，
且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），
∴，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；
（3）∵BG⊥DE，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵a=3，b=2，k=，
∴ BD²+GE²=2²+3²+1²+（）²=，
∴BE²+DG²=。