Question

【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），平行于對(duì)角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線m與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)MN＝AC時(shí)，求t的值；

（3）設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式，并確定S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）；（2）或；（3）；當(dāng)t＝5時(shí)，S最大值＝10．

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CH⊥OA于H，由勾股定理求出OC，得出CB，即可得出結(jié)果；

（2）分兩種情況：①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，由菱形的性質(zhì)得出OA＝AB＝BC＝OC＝5，OC∥AB．由平行線得出△OMN∽△OAC，得出比例式求出OM即可；

②當(dāng)5≤t≤10時(shí)，設(shè)直線MN與OA交于點(diǎn)E．同①可得AM＝．再證出△AEM∽△OAC．得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM＝AE，得出OE即可；

（3）分兩種情況①當(dāng)0≤t＜5時(shí)，求出△OAC的面積，再由相似三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)果；

②當(dāng)5≤t≤10時(shí)，過點(diǎn)M作MT⊥x軸于T，由△BMN∽△AME可知，MT＝（t﹣5），得出S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝ 即可得出結(jié)果．

解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥OA于H，如圖1所示：

∵C （3，4），

∴CH＝4，OH＝3，

∴

∵四邊形OABC是菱形，

∴CB＝OC＝5，5+3＝8，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，

如圖2所示：

∵四邊形OABC是菱形，

∴OA＝AB＝BC＝OC＝5，OC∥AB．

∵MN∥AC，

∴△OMN∽△OAC，

∴

∵

∴

∴

②當(dāng)5≤t≤10時(shí)，如圖3所示：

設(shè)直線MN與OA交于點(diǎn)E．，同①可得AM＝．

∵OC∥AB，MN∥AC，

∴∠COA＝∠MAE，∠CAO＝∠MEA，

∴△AEM∽△OAC．

∴

∵OC＝OA，

∴AM＝AE，

∴

∴

綜上所述：或

（3）分兩種情況：

①當(dāng)0≤t＜5時(shí)（如圖1），

∵△OMN∽△OAC，

∴，即

∴ （0≤t＜5）；

②當(dāng)5≤t≤10時(shí)，過點(diǎn)M作MT⊥x軸于T，如圖4所示：

由△BMN∽△AME可知，MT＝（t﹣5），

∴S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝

綜上所述：

∴當(dāng)t＝5時(shí)，S最大值＝10．