Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-3，6），點B，點C分別在x軸的負半軸和正半軸上，OB，OC的長分別是方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求點B，點C的坐標；
（2）若平面內(nèi)有M（1，-2），D為線段OC上一點，且滿足∠DMC=∠BAC，求直線MD的解析式；
（3）在坐標平面內(nèi)是否存在點Q和點P（點P在直線AC上），使以O(shè)，P，C，Q為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4x+3=0，結(jié)合圖形求解；
（2）過A作AH⊥x軸于H點，可證明△CAB∽△CMD．根據(jù)相似形的性質(zhì)求D點坐標，運用待定系數(shù)法求MD的解析式．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可直接寫出存在的點Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．

解答：解：（1）x²-4x+3=0，
得x=3或1．
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）．

（2）過A作AH⊥x軸于H點，則AH=CH=6，
∴∠ACB=45°，
同理（過M作MT⊥x軸于T點，則MT=CT=2 ）可證：∠MCD=45°，
∴∠ACB=∠MCD．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

．
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，同理MC=2

2

，
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．
設(shè)MD的解析式為y=kx+b（k≠0），則

k+b=-2 5 3 k+b=0

，
∴

k=3 b=-5

∴函數(shù)解析式是：y=3x-5．

（3）存在．Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．

點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．