Question

【題目】已知拋物線：（m＞0）的頂點(diǎn)為M，交y軸于點(diǎn)G．

（1）如圖，若點(diǎn)G坐標(biāo)為(0，)

①直接寫出拋物線解析式；

②點(diǎn)Q在y軸上，將線段QM繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段QN，若點(diǎn)N恰好落在拋物線上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（2） 探究： 將拋物線沿唯一的定直線x=a對(duì)稱得拋物線，記拋物線交y軸于點(diǎn)P (0，－2m)，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②Q1(0，)，Q2(0，－)；（2）1

【解析】

（1）①將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)解析式中即可求出結(jié)論；

②設(shè)點(diǎn)Q（0，t），過(guò)點(diǎn)N作NA⊥y軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作NB⊥y軸于點(diǎn)B，利用AAS證出△ANQ≌△BQM，求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入解析式中即可求出t的值，從而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得出關(guān)于a的一元二次方程，利用a有唯一值令△=0即可求出m的值，從而求出a的值．

解：（1）①將點(diǎn)G(0，)代入解析式中，得

解得：m=1或-1（不符合條件，舍去）

將m=1代入解析式中，得

；

②設(shè)點(diǎn)Q（0，t），過(guò)點(diǎn)N作NA⊥y軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作NB⊥y軸于點(diǎn)B，

∴∠NAQ=∠MBQ=90°，

又QM=QN，∠MQN=90°，

∴∠ANQ＋∠AQN=90°，∠BQM＋∠AQN=90°

∴∠ANQ=∠BQM

∴△ANQ≌△BQM，

∴AN=BQ，AQ=BM，

由點(diǎn)M得M（1，），即B（0，），

∴BM=AQ=1，BQ=AN=t+，

∴A（0，t+1)，即N（t+，t+1），

則有（t+）2－2（t+）－=t+1，

解得t1=，t2=－，

∴Q1=（0，），Q2（0，－）

（2）解：：可化為

，

∴頂點(diǎn)M，

又∵拋物線與拋物線關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由對(duì)稱性知：

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴拋物線的解析式為：，

又∵拋物線交y軸于點(diǎn) P (0，－2m)，

則有 ，

∴

而直線x=a唯一，

∴，

解得，

所以有，

解得，