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        1. 【題目】已知,在矩形ABCD中,連接對(duì)角線AC,將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EFG,并將它沿直線AB向左平移,直線EG與BC交于點(diǎn)H,連接AH,CG.

          (1)如圖,當(dāng)AB=BC,點(diǎn)F平移到線段BA上時(shí),線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想;

          (2)如圖,當(dāng)AB=BC,點(diǎn)F平移到線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說明理由;

          (3)如圖,當(dāng)AB=nBC(n1)時(shí),對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如已知同樣的變換操作,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想.

          【答案】(1) AH=CG,AHCG ;(2) 仍然成立,理由詳見解析;(3) AH=nCG,AHCG.理由詳見解析.

          【解析】

          試題分析:(1)延長(zhǎng)AH與CG交于點(diǎn)T,如圖,易證BH=BG,從而可證到ABH≌△CBG,則有AH=CG,HAB=GCB,從而可證到HAB+AGC=90°,進(jìn)而可證到AHCG.

          (2)延長(zhǎng)CG與AH交于點(diǎn)Q,如圖,仿照(1)中的證明方法就可解決問題.

          (3)延長(zhǎng)AH與CG交于點(diǎn)N,如圖,易證BHEF,可得GBH∽△GFE,則有,也就有,從而可證到ABH∽△CBG,則有=n,HAB=GCB,進(jìn)而可證到AH=nCG,AHCG.

          試題解析:(1)AH=CG,AHCG.

          證明:延長(zhǎng)AH與CG交于點(diǎn)T,如圖

          由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,EFG=ABC.

          四邊形ABCD是矩形,AB=BC,

          EF=GF,EFG=ABC=90°.

          ∴∠CBG=90°,EGF=45°.

          ∴∠BHG=90°﹣45°=45°=EGF.

          BH=BG.

          ABH和CBG中,

          AB=BC,ABH=CBG,BH=BG,

          ∴△ABH≌△CBG(SAS).

          AH=CG,HAB=GCB.

          ∴∠HAB+AGC=GCB+AGC=90°.

          ∴∠ATC=90°.

          AHCG.

          (2)(1)中的結(jié)論仍然成立.

          證明:延長(zhǎng)CG與AH交于點(diǎn)Q,如圖

          由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,EFG=ABC.

          四邊形ABCD是矩形,AB=BC,

          EF=GF,EFG=ABC=90°.

          ∴∠ABH=90°,EGF=45°.

          ∴∠BGH=EGF=45°.

          ∴∠BHG=90°﹣45°=45°=BGH.

          BH=BG.

          ABH和CBG中,

          AB=BC,ABH=CBG,BH=BG,

          ∴△ABH≌△CBG(SAS).

          AH=CG,HAB=GCB.

          ∴∠GCB+CHA=HAB+CHA=90°.

          ∴∠CQA=90°.

          CGAH.

          (3)AH=nCG,AHCG.理由如下:

          延長(zhǎng)AH與CG交于點(diǎn)N,如圖,

          由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,EFG=ABC.

          四邊形ABCD是矩形,AB=nBC,

          EF=nGF,EFG=ABC=90°.

          ∴∠EFG+ABC=180°.

          BHEF.

          ∴△GBH∽△GFE.

          ,

          ∵∠ABH=CBG,

          ∴△ABH∽△CBG.

          =n,HAB=GCB.

          AH=nCG,HAB+AGC=GCB+AGC=90°.

          ∴∠ANC=90°.

          AHCG.

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