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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知A是等邊三角形PQR的邊RQ的延長線上的點,B是QR延長線上的點,
          (1)若∠1+∠2=60°,求證:QR2=AQ•BR.
          (2)若AQ=
          12
          QR
          ,當RB與QR滿足什么條件時,△BRP∽△PQA?
          (3)△BPQ有可能與△PQA相似嗎?若可能相似,說明應(yīng)滿足什么條件;若不可能相似,請說明理由.
          分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定可以證明△APQ∽△PBR,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明;
          (2)根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等進行求解;
          (3)根據(jù)相似三角形的外角的性質(zhì)進行證明.
          解答:解:(1)證明:∵△PQR是等邊三角形,
          ∴∠PQR=∠QRP=∠QPR=60°,
          ∴∠A+∠1=60°,
          又∵∠1+∠2=60°(三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和),
          ∴∠2=∠A(等量代換),
          又∠AQP=∠PRB=120°(等邊三角形的外角),
          ∴△AQP∽△PRB(4分),
          PR
          AQ
          =
          BR
          PQ
          ,
          又PQ=PR=QR,
          即QR2=AQ•BR;

          (2)∵∠AQP=∠PRB=120°,
          RB
          PR
          =
          AQ
          QR
          =
          AQ
          QP
          =
          1
          2
          (2分),
          RB
          PR
          =
          QR
          AQ
          =
          QP
          AQ
          =2時
          ,(1分)
          即當  RB=
          1
          2
          QR或RB=2QR時,△BRP∽△PQA
          ;(1分)

          (3)不可能.(1分)
          ∵∠PQB=60°,
          而∠AQP=120°>∠PQB.
          又∠A<∠PQB,∠APQ<∠PQB.
          (三角形的外角大于不相鄰的兩個內(nèi)角)
          所以△BPQ與△PQA不可能相似.(1分)
          點評:此題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及判定、三角形的外角的性質(zhì),是一道好題.
          練習(xí)冊系列答案
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          ①AE=BD
          ②CN=CM
          ③MN∥AB
          其中正確結(jié)論的個數(shù)是(  )

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          (1)求B、C、D三點的坐標;
          (2)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B、C、D三點,求它的解析式;
          (3)過點D作DF∥AB交BC于E,若EF=
          12
          ,判斷點F是否在(2)中的拋物線上,說明理由.

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          (1)當t為何值時,△BPQ為直角三解形;
          (2)設(shè)△BPQ的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)作QR∥BA交AC于點R,連接PR,當t為何值時,△APR∽△PRQ?

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          ①試判斷△DBE是什么三角形?并證明你的結(jié)論.
          ②若BC=2.2,求S△ABD(結(jié)果保留三個有效數(shù)字.提示:BD=
          3
          2
          AB,
          3
          =1.732)

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