Question

如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E．
（1）求證：AD=ED；
（2）若AD=6，AB=18，求四邊形ABFD的面積．

Answer 1

分析：（1）延長DF交BC于點G，可得四邊形ABGD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BG，然后利用“邊角邊”證明△BCF和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CDF=∠CBF，全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=DF，再利用“角邊角”證明△BGF和△DEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BG=DE，從而得證；
（2）設(shè)DF=x，然后表示出BF，F(xiàn)G，在Rt△BFG中，利用勾股定理列式求解得到DF的長，再根據(jù)梯形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）延長DF交BC于點G，
∵∠ABC=90°，AD∥BC，DF∥AB，
∴四邊形ABGD是矩形，
∴AD=BG，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
∵

BC=DC ∠BCF=∠DCF CF=CF

，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF，BF=DF，
在△BGF和△DEF中，
∵

∠CDF=∠CBF BF=DF ∠BFG=∠DFE(對頂角相等)

，
∴△BGF≌△DEF（ASA），
∴BG=DE，
∴AD=ED；

（2）設(shè)DF=x，則BF=DF=x，
所以FG=DG-DF=AB-DF=18-x，BG=AD=6，
在Rt△BFG中，由勾股定理得，BG²+FG²=BF²，
即6²+（18-x）²=x²，
整理得，36x=360，
解得x=10，
所以四邊形ABFD的面積

1

2

×（10+18）×6=84．

點評：本題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及梯形的面積求解，難點在于要進行二次三角形全等的證明．