Question

【題目】拋物線C1：y=x2﹣1（﹣1≤x≤1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，拋物線C3與拋物線C1關(guān)于點(diǎn)B中心對稱．若直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值或取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】b=-或- 或3

【解析】分析：根據(jù)對稱性先求拋物線C2與拋物線C3的解析式，再分兩種情況：

①在y軸右側(cè)時(shí)，從直線y=﹣x+b與C3相切時(shí)到直線過點(diǎn)D時(shí)，這些b值符合條件，計(jì)算出來即可；

②在y軸的左側(cè)，當(dāng)y=﹣x+b與C1相切時(shí)和y=﹣x+b與C2相切時(shí)，都與C2有C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)，分別計(jì)算出b的值．

詳解：拋物線C1：y=x2﹣1（﹣1≤x≤1），頂點(diǎn)E（0，﹣1），當(dāng)y=0時(shí)，x=±1，∴A（﹣1，0），B（1，0），當(dāng)拋物線C2與拋物線C1關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，∴頂點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)E′（﹣2，1），∴拋物線C2的解析式為：y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣4x﹣3，當(dāng)拋物線C3與拋物線C1關(guān)于點(diǎn)B中心對稱，∴頂點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)E′′（2，1），∴拋物線C3的解析式為：y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．分兩種情況討論：

①當(dāng)y=﹣x+b過D（3，0）時(shí)，b=3，當(dāng)y=﹣x+b與C3相切時(shí)，即與C3有一個(gè)公共點(diǎn)，則，﹣x2+4x﹣3=﹣x+b，x2﹣5x+b+3=0，△=25﹣4（b+3）=0，b=，∴當(dāng)3≤b＜時(shí)，直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)；

②當(dāng)y=﹣x+b與C1相切時(shí)，即與C1有一個(gè)公共點(diǎn)，則，x2﹣1=﹣x+b，x2+x﹣1﹣b=0，△=1﹣4（﹣1﹣b）=0，b=﹣，當(dāng)y=﹣x+b與C2相切時(shí)，即與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，則，﹣x2﹣4x﹣3=﹣x+b，﹣x2﹣3x﹣3﹣b=0，△=9﹣4×（﹣1）×（﹣3﹣b）=0，b=﹣，∴當(dāng)b=﹣或﹣時(shí)，直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)．

綜上所述：當(dāng)b=﹣或﹣或3≤b＜時(shí)，直線y=﹣x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個(gè)公共點(diǎn)．