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        1. 【題目】如圖,拋物線y= x2+ x﹣ (k>0)與x軸交于點A、B,點A在點B的右邊,與y軸交于點C
          (1)如圖1,若∠ACB=90°

          ①求k的值;
          ②點P為x軸上方拋物線上一點,且點P到直線BC的距離為 ,則點P的坐標為(請直接寫出結(jié)果)
          (2)如圖2,當k=2時,過原點O的任一直線y=mx(m≠0)交拋物線于點E、F(點E在點F的左邊)

          ①若OF=2OE,求直線y=mx的解析式;
          ②求 + 的值.

          【答案】
          (1)k=8;(﹣4﹣
          (2)

          解:①過點E、F分別作x軸的垂線,垂直分別為M,N.

          把k=2代入得:y= x2﹣1.

          x2﹣1=mx,得到xE+xF=4m,xExF=﹣4.

          ∵OF=2OE,

          ∴xF=﹣2xE,且xE<0,

          ∴﹣2xExE=﹣4,解得:xE=﹣

          ∴﹣ +2 =4m,解得:m=

          ∴直線的解析式為y= x.

          ②設(shè)∠FON=α,則 + =cosα( + ).

          ∵直線EF的解析式為y=mx,

          ∴tanα=m,

          ∴cosα=

          + = = = =

          + =cosα( + )= =1.


          【解析】(1)①∵y= [x2+(k﹣2)x﹣2k]= (x﹣2)(x+k),
          ∴點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(﹣k,0).
          ∵將x=0代入拋物線的解析式為y=﹣
          ∴點C的坐標為(0,﹣ ).
          ∵∠BCO+∠ACO=90°,∠OBC+∠BCO=90°,
          ∴∠OBC=∠OCA.
          又∵∠BOC=∠AOC,
          ∴△OBC∽△OCA.
          =
          ∴OC2=AOOB.
          k2=2k,解得:
          k=8或者k=0(舍)
          ②將k=8代入拋物線的解析式得:y= x2+ x﹣4.
          當x=0時,y=﹣4,
          ∴C(0,﹣4).
          令y=0得: x2+ x﹣4=0,解得x=﹣8或x=2.
          ∴A(2,0)B(﹣8,0).
          ∴AC= =2
          設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將點B和點C的坐標代入得: ,
          解得:
          ∴直線BC的解析式為y= x﹣4.
          設(shè)M為AC的中點,則M(1,﹣2),如圖1所示:過點M作PM∥BC,交拋物線與點P.

          設(shè)直線PM的解析式為y=﹣ x+c,將點M的坐標代入得:﹣ +c=﹣2,解得:c=﹣
          ∴直線PM的解析式為y=﹣ x﹣
          ∴﹣ x﹣ = x2+ x﹣4,解得x=﹣4﹣ 或x=﹣4+ (舍去).
          當x=﹣4﹣ 時,y=
          ∴點P的坐標為(﹣4﹣ , ).
          所以答案是:(﹣4﹣ ).
          【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識,掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商,以及對確定一次函數(shù)的表達式的理解,了解確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

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          A.0.5
          B.1.5
          C.
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