Question

如圖，在直角坐標系中，已知點A（

3

，0），B（-

3

，0），以點A為圓心，AB為半徑的圓與x軸相交于點B，C，與y軸相交于點D，E．
（1）若拋物線y=

1

3

x²+bx+c經(jīng)過C，D兩點，求拋物線的解析式，并判斷點B是否在該拋物線上；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點P，使得△PBD的周長最��；
（3）設Q為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵OA=

3

，AB=AC=2

3

，
∴B（-

3

，0），C（3

3

，0），連接AD，
在Rt△AOD中，AD=2

3

，OA=

3

，
∴OD=

AD2-OA2

=3，
∴D的坐標為（0，-3），（3分）
又∵D，C兩點在拋物線上，
∴

c=-3 1 3 •(3 3 )2+3 3 b+c=0

，
解得

b=- 2 3 3 c=-3

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，（5分）
當x=-

3

時，y=0，
∴點B（-

3

，0）在拋物線上，（6分）

（2）∵y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，
=

1

3

（x-

3

）²-4，
∴拋物線y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3的對稱軸方程為x=

3

，（7分）
在拋物線的對稱軸上存在點P，使△PBD的周長最小．
∵BD的長為定值∴要使△PBD周長最小只需PB+PD最�。�
連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△PBD周長最小的點．
設直線DC的解析式為y=mx+n．
由

n=-3 3 3 m+n=0

，
得

m= 3 3 n=-3

，
∴直線DC的解析式為y=

3

3

x-3．
由

y= 3 3 x-3 x= 3

，
得

x= 3 y=-2

，
故點P的坐標為(

3

，-2)．（9分）

（3）存在，設Q（

3

，t）為拋物線對稱軸x=

3

上一點，
M在拋物線上要使四邊形BCQM為平行四邊形，
則BC∥QM且BC=QM，點M在對稱軸的左側(cè)．
于是，過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4

3

，
從而x_m=-3

3

，t=12，
另外：M在拋物線的頂點上也可以構(gòu)造平行四邊形！
故在拋物線上存在點M（-3

3

，12）或（5

3

，12）或（

3

，-4），使得四邊形BCQM為平行四邊形．（12分）