Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AB→BC→CD的方向運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；點(diǎn)Q沿線段AD的方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APQ的面積為S（cm²）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某個(gè)t的值使∠CQP=60°？通過計(jì)算說明；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，是否存在某個(gè)t的值使PQ=AQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）試探究：點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t取何值時(shí)，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）若假設(shè)存在某個(gè)t的值使∠CQP=60°，則過 B作BE⊥AD于E，CF⊥ADAD于F，可證明△CDQ∽△AQP，利用相似的性質(zhì)得到對應(yīng)邊的比值相等，建立關(guān)于t的方程，從而求出t，再求出t的取值范圍，看是否滿足題意即可；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形PDF和PFQ，利用已知條件和勾股定理建立建立關(guān)于t的方程，從而求出t的值；
（3）要根據(jù)點(diǎn)P在不同的時(shí)間段，即t的不同取值分三種情況進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）不存在，
過B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∵AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm，
∴AE=DF=3cm，
∴cosA=

AE

AB

=

3

6

=

1

2

，
∴∠A=∠D=60°，
若∠CQP=60°，則∠CQD+∠AQP=120°，
∵∠DCQ+∠CQD=120°，
∴∠DCQ=∠AQP，
∴△CDQ∽△AQP，
∴

CD

AQ

=

DQ

AP

，
∵AP=2t AQ=tDQ=8-t，
∴

6

t

=

8-t

2t

，
∴t₁=0，t_2⁼-4，
∵點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)
∴0＜t＜3
∴不存在某個(gè)t的值使∠CQP=60°．

（2）存在，過點(diǎn)P作PF⊥AD于F，
∵PD=14-2t，
∴PF=PD•sinD=（14-2t）•

3

2

=-

3

t+7

3

．
∴DF²=PD²-PF²=（14-2t）²-（-

3

t+7

3

）²
又∵FQ=8-AQ-DF
∴PQ²=PF²+FQ²
∴t=

21- 145

2

∴當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，存在某個(gè)t的值使PQ=AQ．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上（不與D點(diǎn)重合）時(shí)，4≤t＜7．
過點(diǎn)P作PF⊥AD于F，如圖．
∵PD=14-2t，
∴PF=PD•sinD=（14-2t）•

3

2

=-

3

t+7

3

．
∴S=

1

2

•t(-

3

t+7

3

)=-

3

2

t2+

7 3

2

t（4≤t＜7）．
①∵當(dāng)0＜t≤3時(shí)．S=

3

2

t2．
由函數(shù)圖象可知，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S_最大=

9 3

2

；
②當(dāng)3≤t≤4時(shí)，S=

3 3

2

t．
由函數(shù)圖象可知，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=4時(shí)，S_最大=6

3

；
③當(dāng)4≤t＜7時(shí)，S=-

3

2

t2+

7 3

2

t．
由函數(shù)圖象知，S隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=4時(shí)，S_最大=6

3

．（13分）
綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t=4時(shí)，S的值最大．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，還利用了解直角三角形的有關(guān)知識(shí)．注意處理第（3）小題要分三種情況討論．