如圖，正△ABC中，∠ADE=60°，
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的長．
(1)證明見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）在正ABC中，由∠ADE=60°，可知∠ADB+∠EDC=120°，∠BAD+∠ADB=120°，所以∠BAD=∠EDC，又∠B=∠C，可證得△ABD∽△DCE；
（2）由（1）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可求得CE的長，從而求出AE的長.
試題解析：(1)在正ABC中，∠B=∠C=60°
∵∠BAD+∠ADB=120°，∠EDC+∠ADB=180°-∠ADE=120°
∴∠BAD=∠EDC
∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCE.
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴
∴
∴AE=AC-CE=6-
=
考點：1.等邊三角形的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì).
科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖,網(wǎng)格圖的每個小正方形邊長均為1．△OAB的頂點均在格點上．已知△
與△OAB是以O為位似中心的位似圖形,且位似比為1︰3．
（1）請在第一象限內(nèi)畫出△;
（2）試求出△的面積．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xoy中，以點M(1,-1)為圓心，以
為半徑作圓，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，二次函數(shù)
的圖象經(jīng)過點A、B、C，頂點為E.
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）設∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；
（3）坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題
提出問題
如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
類比探究
如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
拓展延伸
如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，△ABC和△DEF的頂點都在方格紙的格點上．
（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；
（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F(xiàn)是△DEF邊上的7個格點，請在這7個格點中選取3個點作為三角形的頂點，使構(gòu)成的三角形與△ABC相似（要求寫出2個符合條件的三角形，并在圖中連結(jié)相應線段，不必說明理由）．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的
；
（3）若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿A→B→C向終點C運動，連接DM交AC于點N．
（1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN
①試說明：
；
②若∠ABC=60°，AM=4，求點M到AD的距離．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經(jīng)過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題
（2013年四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.
（1）求證:△APB∽△PEC;
（2）若CE＝3,求BP的長.
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是等邊三角形，點
、
分別在邊
、
上，
．
∽△
；（2）如果
，
，求
的長．