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        1. 如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點P在AB上從A向B運動,連接DP交AC于點Q.

          (1)試證明:無論點P運動到AB上何處時,都有△ADQ≌△ABQ;
          (2)當點P在AB上運動到什么位置時,△ADQ的面積是正方形ABCD面積的;
          (3)若點P從點A運動到點B,再繼續(xù)在BC上運動到點C,在整個運動過程中,當點P運動到什么位置時,△ADQ恰為等腰三角形.

          (1)證明見解析;(2)當AP=2時, △ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的;(3)當CP=4-4時,△ADQ是等腰三角形.

          解析試題分析:(1)正方形的對角線與邊的夾角是45°,在正方形ABCD中,無論點P運動到AB上何處時,都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,∴△ADQ≌△ABQ.(2)△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時,過點Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,則QE =QF,AD×QE=S正方形ABCD=,∴QE=,由△DEQ∽△DAP得,
          解得AP=2,∴AP=2時,△ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的.(3)若△ADQ是等腰三角形,則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,①當點P運動到與點B重合時,由四邊形ABCD是正方形知QD=QA,此時△ADQ是等腰三角形,②當點P與點C重合時,點Q與點C也重合,此時DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.③如圖,設(shè)點P在BC邊上運動到CP=x時,有AD=AQ,∵AD∥BC,∴∠ADQ=∠CPQ,又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,∴∠CQP=∠CPQ,∴CQ=CP=x,∵AC=,AQ=AD=4,∴z=CQ=AC-AQ=4-4,即當CP=4-4時,△ADQ是等腰三角形.

          試題解析:(1)證明:在正方形ABCD中,無論點P運動到AB上何處時,都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,
          ∴△ADQ≌△ABQ.
          (2)解:△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時,
          過點Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,
          則QE=QF,
          AD×QE=S正方形ABCD=,
          ∴QE=,
          由△DEQ∽△DAP得,
          解得AP=2,
          ∴AP=2時,△ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的.
          (3)若△ADQ是等腰三角形,則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,
          ①當點P運動到與點B重合時,由四邊形ABCD是正方形知QD=QA,
          此時△ADQ是等腰三角形,
          ②當點P與點C重合時,點Q與點C也重合,
          此時DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.
          ③解:如圖,設(shè)點P在BC邊上運動到CP=x時,有AD=AQ,

          ∵AD∥BC,
          ∴∠ADQ=∠CPQ,
          又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,
          ∴∠CQP=∠CPQ,
          ∴CQ=CP=x,
          ∵AC=,AQ=AD=4,
          ∴z=CQ=AC-AQ=4-4,
          即當CP=4-4時,△ADQ是等腰三角形.
          考點:1.正方形;2.三角形的相似.

          練習冊系列答案
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