Question

【題目】如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連結(jié)BC．若△ABC的面積為2．
（1）求k的值；
（2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，

∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴OA=OB，

∴△BOC的面積=△AOC的面積=2÷2=1，

又∵A是反比例函數(shù)y= 圖象上的點(diǎn)，且AC⊥x軸于點(diǎn)C，

∴△AOC的面積= |k|，

∴ |k|=1，

∵k＞0，

∴k=2．

故這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y= ；

（2）x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．

將y=2x與y= 聯(lián)立成方程組得：

，

解得： ， ，

∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），

①當(dāng)AD⊥AB時(shí)，如圖1，

設(shè)直線AD的關(guān)系式為y=﹣ x+b，

將A（1，2）代入上式得：b= ，

∴直線AD的關(guān)系式為y=﹣ x+ ，

令y=0得：x=5，

∴D（5，0）；

②當(dāng)BD⊥AB時(shí)，如圖2，

設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=﹣ x+b，

將B（﹣1，﹣2）代入上式得：b=﹣ ，

∴直線AD的關(guān)系式為y=﹣ x﹣ ，

令y=0得：x=﹣5，

∴D（﹣5，0）；

③當(dāng)AD⊥BD時(shí)，如圖3，

∵O為線段AB的中點(diǎn)，

∴OD= AB=OA，

∵A（1，2），

∴OC=1，AC=2，

由勾股定理得：OA= = ，

∴OD= ，

∴D（ ，0）．

根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)，且D在x軸負(fù)半軸時(shí)，D（﹣ ，0）．

故x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）或（﹣5，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）．

【解析】（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特征，可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則O為線段AB的中點(diǎn)，故△BOC的面積等于△AOC的面積，都等于1，然后由反比例函數(shù)y= 的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△AOC的面積等于 |k|，從而求出k的值；（2）先將y=2x與y= 聯(lián)立成方程組，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分三種情況討論：①當(dāng)AD⊥AB時(shí)，求出直線AD的關(guān)系式，令y=0，即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)BD⊥AB時(shí)，求出直線BD的關(guān)系式，令y=0，即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo)；③當(dāng)AD⊥BD時(shí)，由O為線段AB的中點(diǎn)，可得OD= AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．