Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求△AOB的面積；
（2）Q是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，請(qǐng)以Q為圓心，QO 半徑畫圓與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，連接AN、MB．猜想AN與MB的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）首先求出點(diǎn)P在線段AB上，進(jìn)而得出S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2 PP₁×2PP₂，即可得出S_△AOB=2 PP₁×PP₂；
（2）首先求出△AON∽△MOB，再利用平行線的判定定理，得出即可．

解答：解：（1）點(diǎn)P在線段AB上．理由如下：
∵點(diǎn)O在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直徑
∴點(diǎn)P在線段AB上．…（2分）
過點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，
由題意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位線，
∴S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2 PP₁×2PP₂=2 PP₁×PP₂
又∵P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上的任意一 點(diǎn)，
∴PP₁×PP₂=xy=12
∴S_△AOB=2 PP₁×PP₂=24．…（4分）

（2）猜想：AN∥MB…（1分）
如圖，連接MN，則MN過點(diǎn)Q，且S_△MON=S_△AOB=24．
∴OA•OB=OM•ON．
∴

OA

OM

=

ON

OB

．
又∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB…（3分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及圓的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，平行線的判定等知識(shí)，此題不失為豐富靈活的一道好題，難易程度--中．