Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（-1，0），請(qǐng)解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接BD，求BD的長．

（3）點(diǎn)F在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)F，使△BFC的面積為4，如果存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）2；（3）（1，2）或（1，-2）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）把（1）的解析式配成頂點(diǎn)式得到D點(diǎn)坐標(biāo)，然后兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算BD的長；

（3）先利用對(duì)稱性確定C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)F（1，m），根據(jù)三角形面積公式得到（3+1）|m|=4，然后解絕對(duì)值方程求出m即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（1）把A（0，3），B（-1，0）代入y=ax2+2x+c得，即得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴D（1，4），

∴BD==2；

（3）存在．

∵拋物線的對(duì)稱性為直線x=1，B（-1，0），

∴C（3，0），

設(shè)F（1，m），

∵△BFC的面積為4，

∴（3+1）|m|=4，

∴|m|=2，解得m=2或m=-2，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）．