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        1. 【題目】自定義:在一個圖形上畫一條直線,若這條直線既平分該圖形的面積,又平分該圖形的周長,我們稱這條直線為這個圖形的等分積周線”.

          1)如圖1,已知△ABC,AC≠BC,過點C能否畫出△ABC的一條等分積周線?若能,說出確定的方法,若不能,請說明理由.

          2)如圖2,在四邊形ABCD中,∠B=C=90°,EF垂直平分AD,垂足為F,交BC于點E,已知AB=3,BC=8,CD=5.求證:直線EF為四邊形ABCD等分積周線

          3)如圖3,在△ABC中,AB=BC=6AC=8,請你畫出△ABC的一條等分積周線”EF(要求:直線EF不過△ABC的頂點,交邊AC于點F,交邊BC于點E,并說明EF等分積周線的理由.

          【答案】1)不能,理由見解析;(2)見解析;(3)見解析

          【解析】

          1)若直線CD平分△ABC的面積,那么SADC=SDBC,得出AC≠BC,進而得出答案;
          2)根據(jù)勾股定理可得出:AB2+BE2=CE2+DC2,進而得出BE=5,CE=3,進而得出周長與面積分別相等得出答案即可;
          3)在AC上取一點F,使得FC=AB=6,在BC上取一點E,使得BE=2,作直線EF,則EF是△ABC的等分積周線,結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

          1)不能,


          理由:如答圖1,若直線CD平分△ABC的面積,那么SADC=SDBC
          AD=BD,
          AC≠BC,
          AD+AC≠BD+BC,
          ∴過點C不能畫出一條等分積周線
          2)如答圖2,連接AE、DE,設(shè)BE=x,
          EF垂直平分AD,∴AE=DE,AF=DF,SAEF=SDEF,


          ∵∠B=C=90°AB=3,BC=8CD=5,
          RtABERtDCE中,根據(jù)勾股定理可得出:
          AB2+BE2=CE2+DC2,即32+x2=8-x2+52,
          解得:x=5,所以BE=5,CE=3,
          AB+BE=CE+DC,
          SABE=SDCE,
          S四邊形ABEF=SABE+SAEF,


          S四邊形DCEF=SDEF+SDCE
          S四邊形ABEF=S四邊形DCEF,
          AF+AB+BE=DF+EC+DC
          ∴直線EF為四邊形ABCD等分積周線;
          3)如答圖3,在AC上取一點F,使得FC=AB=6,在BC上取一點E,使得BE=2,
          作直線EF,則EF是△ABC的等分積周線,
          理由:由作圖可得:AF=AC-FC=8-6=2,在CB上取一點G,使得CG=AF=2,則有AB+AF=CF+CG,
          AB=BC,
          ∴∠A=C,
          在△ABF和△CFG中,


          ,
          ∴△ABF≌△CFGSAS),
          SABF=SCFG,
          又易得BE=EG=2
          SBFE=SEFG
          SEFC=S四邊形ABEF,
          AF+AB+BE=CE+CF=10
          EF是△ABC的等分積周線,
          若如答圖4,當BM=2cmAN=6cm時,直線MN也是△ABC的等分積周線.(其實是同一條)

          練習(xí)冊系列答案
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          1)求證:△ACD≌△AED

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          (2)直接寫出 三點的坐標:

          ( ), ( ) ( );

          (3)如果要使以 BC、D 為頂點的三角形與△ABC 全等,直接寫出所有符合條件的點 D 坐標.

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          求矩形的面積;

          求第個平行四邊形,第個平行四邊形和第個平行四邊形的面積.

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