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        1. 【題目】自定義:在一個(gè)圖形上畫(huà)一條直線,若這條直線既平分該圖形的面積,又平分該圖形的周長(zhǎng),我們稱這條直線為這個(gè)圖形的等分積周線”.

          1)如圖1,已知△ABC,AC≠BC,過(guò)點(diǎn)C能否畫(huà)出△ABC的一條等分積周線?若能,說(shuō)出確定的方法,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          2)如圖2,在四邊形ABCD中,∠B=C=90°EF垂直平分AD,垂足為F,交BC于點(diǎn)E,已知AB=3,BC=8,CD=5.求證:直線EF為四邊形ABCD等分積周線

          3)如圖3,在△ABC中,AB=BC=6AC=8,請(qǐng)你畫(huà)出△ABC的一條等分積周線”EF(要求:直線EF不過(guò)△ABC的頂點(diǎn),交邊AC于點(diǎn)F,交邊BC于點(diǎn)E,并說(shuō)明EF等分積周線的理由.

          【答案】1)不能,理由見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析

          【解析】

          1)若直線CD平分△ABC的面積,那么SADC=SDBC,得出AC≠BC,進(jìn)而得出答案;
          2)根據(jù)勾股定理可得出:AB2+BE2=CE2+DC2,進(jìn)而得出BE=5,CE=3,進(jìn)而得出周長(zhǎng)與面積分別相等得出答案即可;
          3)在AC上取一點(diǎn)F,使得FC=AB=6,在BC上取一點(diǎn)E,使得BE=2,作直線EF,則EF是△ABC的等分積周線,結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

          1)不能,


          理由:如答圖1,若直線CD平分△ABC的面積,那么SADC=SDBC,
          AD=BD,
          AC≠BC
          AD+AC≠BD+BC,
          ∴過(guò)點(diǎn)C不能畫(huà)出一條等分積周線
          2)如答圖2,連接AE、DE,設(shè)BE=x,
          EF垂直平分AD,∴AE=DEAF=DF,SAEF=SDEF,


          ∵∠B=C=90°,AB=3,BC=8CD=5,
          RtABERtDCE中,根據(jù)勾股定理可得出:
          AB2+BE2=CE2+DC2,即32+x2=8-x2+52,
          解得:x=5,所以BE=5,CE=3,
          AB+BE=CE+DC
          SABE=SDCE,
          S四邊形ABEF=SABE+SAEF,


          S四邊形DCEF=SDEF+SDCE,
          S四邊形ABEF=S四邊形DCEF,
          AF+AB+BE=DF+EC+DC,
          ∴直線EF為四邊形ABCD等分積周線;
          3)如答圖3,在AC上取一點(diǎn)F,使得FC=AB=6,在BC上取一點(diǎn)E,使得BE=2
          作直線EF,則EF是△ABC的等分積周線,
          理由:由作圖可得:AF=AC-FC=8-6=2,在CB上取一點(diǎn)G,使得CG=AF=2,則有AB+AF=CF+CG,
          AB=BC
          ∴∠A=C
          在△ABF和△CFG中,


          ,
          ∴△ABF≌△CFGSAS),
          SABF=SCFG,
          又易得BE=EG=2
          SBFE=SEFG,
          SEFC=S四邊形ABEF
          AF+AB+BE=CE+CF=10,
          EF是△ABC的等分積周線,
          若如答圖4,當(dāng)BM=2cm,AN=6cm時(shí),直線MN也是△ABC的等分積周線.(其實(shí)是同一條)

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          ( ), ( ), ( )

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